Autour de la coloration dynamique dans les graphes

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons à la notion de la coloration r -dynamique des sommets et le nombre chromatique r -dynamique dans les graphes. Soit G Æ (V,E) un graphe simple et sans sommet isolé. Une coloration propre de sommets de G est une affectation de couleurs aux sommets de sorte que deux sommets adjacents aient des couleurs différentes. Le nombre minimum de couleurs nécessaires à la coloration des sommets de G est appelé le nombre chromatique de G et noté Â(G). Une coloration r -dynamique d’un graphe G est une coloration propre c de G tel que jc(N(v))j ¸ min{r,d(v)} pour chaque sommet v 2 V(G), où N(v) est le voisinages de v. Le plus petit entier k pour lequel un graphe G a une k-coloration r -dynamique est le nombre chromatique r -dynamique Âr (G). Dans ce travail, nous déterminons la valeur exacte du nombre chromatique r -dynamique Âr2{2,3,4}(G) de certains graphes classiques comme le graphe milieu et total d’une chaîne Pn, d’un cycle Cn et d’une couronne d’une chaîne Cr (Pn), le produit cartésien du book graphe P2 K1,n, des étoiles K1,n K1,n et des graphes complets Kn Kn et le produit total des chaînes Pn Pn. De plus, nous donnons les valeurs exactes du nombre chromatique r -dynamique Âr2{2,3,4}(G) du graphe de mycielski de quelques graphes particuliers comme le graph complet Kn, l’étoile K1,n, la roue Wn et le fan graphe Fn. En outre, nous étudions les graphes dits Âd -critique et Âde -critiques (d Æ 2) c’est à dire les graphes G dont le nombre chromatique dynamique change lorsque G est modifié en supprimant et contractant une arête quelconque de G. Dans ce sens, on donne une caractérisation des arbre Âd -arête critiques et Âde -critiques.