ÉTUDE DES b-(SOMMET OU ARÊTE)-COLORATIONS DANS LES GRAPHES ET LEURS COMPORTEMENTS VIS À VIS DE CERTAINES OPÉRATIONS

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons essentiellement à la notion de b-coloration dans les graphes. Soit G Æ (V,E) un graphe. Une b-coloration des sommets (resp., d’arêtes) est une coloration propre de sommets (resp., arêtes) de G telle que chaque classe de couleur possède au moins un sommet (resp. une arête) adjacent(e) à au moins un sommet (resp., une arête) dans chaque classe de couleur autre que la sienne. Le nombre b-chromatique (resp., l’indice b-chromatique), noté b (G) (resp., b0 (G)) est le nombre maximum de couleurs pour lequel le graphe G admet une b-coloration des sommets (resp., arêtes). Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à la b-coloration des sommets d’un graphe. Tout d’abord, nous caractérisons tous les graphes dont la suppression d’une arête quelconque fait diminuer le nombre b-chromatique, un tel graphe est dit arête b-critique. Ensuite, nous donnons une caractérisation des arbres dits be-critiques, c’està- dire les arbres dont la contraction d’une arête quelconque fait diminuer leur nombre b-chromatique. Enfin, nous déterminons la valeur exacte du nombre b-chromatique du prisme complémentaire de certains graphes, ainsi nous donnons une borne supérieure de ce paramètre et une caractérisation du prisme complémentaire des graphes sans triangle dont cette borne est atteinte. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la b-coloration des arêtes, où nous donnons la valeur exacte de l’indice b-chromatique de certains graphes particuliers.