Inégalités, Moyennes et extremas

Abstract

Ce mémoire de master est un bouquet de résultats sur les inégalités les plus répandus dans le cursus universitaire. Il n’est pas exhaustif. Son intérêt est double, il est pédagogique dans le sens où il permet de faire une synthèse qui permet de voir comment des inégalités simples permettent d’assurer la continuité de fonctions ou l’existence d’objets mathématiques, ceci d’une part, d’autre part il renforce la compréhension de concepts mathématiques fondamentaux simples utiles aussi bien en pratique qu’en théorie, tels que les fonctions convexes, l’existence de norme dans certains espaces vectoriels très usagers, et la recherche d’extremas de façon intuitive. Le premier chapitre traite des inégalités les plus répandues en analyse, telles que l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’inégalité de Young, celles de Hölder et Minkowski et autres. L’inégalité de Cauchy-Schwarz assure la continuité du produit scalaire, et de norme Euclidienne, celle de Minkowski l’existence d’une infinité de normes dans les espaces Lp avec p > 1. L’inégalité de Jensen permet d’avoir une preuve assez simple sue les inégalités arithmético-géométriques. Le second chapitre traite des inégalités arithméticogéométriques MA−MG, et de leurs applications dans la recherche de bornes et d’extrêmes aussi bien en géométrie qu’en analyse. Dans le troisième chapitre nous avons étudier certaines inégalités trigonométriques et hyperboliques, notamment l’inégalité de Thomas E.Price découverte en 2002, lors de l’essai de calcul du produit des longueurs de cordes définis par la distribution de manière équidistante de points sur une ellipse. Le chapitre quatre traite de certaines inégalités liants périmètre et surface de triangles à leurs segments particuliers ( hauteurs, médianes, bissectrices), et de leurs applications à l’existence de triangles sous certaines données, et à la recherche de certains extremas.