Étude des alliances globales et les alliances globales fortes dans certaines classes de graphes

Abstract

Le but de ce mémoire est l'étude des alliances globales et les alliances globales fortes dans les graphes. Soit G = (V, E) un graphe simple, d'ensemble de sommets V et d'ensemble d'arêtes E. Un sous-ensemble S de V est un dominant de G si tout sommet de V − S est adjacent à au moins un sommet de S. Le nombre de domination γ(G) est le cardinal minimum d'un ensemble dominant de G. Un ensemble dominant S est une alliance défensive globale si pour tout sommet v ∈ S, |N[u] ∩ S| ≥ |N[u] ∩ (V \ S)|. Le nombre d'alliance défensive globale γa(G) est le cardinal minimum d'une telle alliance. Si de plus pour tout sommet v ∈ S, |N[v]∩S > |N[u]∩(V \S)|, alors S est une forte alliance défensive globale, de nombre γaˆ(G). Un ensemble dominant S est une alliance o ensive globale si pour tout sommet v ∈ V \S,|N[u]∩S| ≥ |N[u]∩(V \S)|. Le nombre d'alliance o ensive globale γo(G) est le cardinal minimum d'une telle alliance. Si de plus pour tout sommet v ∈ V \ S, |N[v] ∩ S| > |N[u] ∩ (V \ S)|, alors S est une forte alliance o ensive globale, de nombre γoˆ(G). Un ensemble dominant S est une alliance puissante globale si pour chaque sommet v ∈ N[S] , |N[v] ∩ S| ≥ |N[v] − S| .Le nombre d'alliance puissante globale γap(G) est le cardinal minimum d une alliance puissante globale de G. Dans ce mémoire, Nous étudions les graphes grilles et établissons des résultats permettant de déterminer les nombres d'alliances correspondants. Nous obtenons des formules et des caractérisations générales pour cette famille de graphes, ainsi que plusieurs résultats particuliers qui conduisent à une meilleure compréhension de ces paramètres. En n, nous nous intéressons aux arbres, où nous mettons en évidence une relation entre les paramètres γaˆ et γo