Méthodes numériques pour résoudre l’équation de Lyapunov-Sylvester et ses applications

Abstract

Ce travail porte sur les différentes méthodes numériques développées pour résoudre l’équation de Lyapunov-Sylvester de la forme AX + XB = C, qui joue un rôle central dans l’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques linéaires. Parmi les approches étudiées, on distingue les méthodes directes basées sur la forme de Kronecker et la vectorisation, les méthodes itératives telles que la méthode de l’algorithme de Bartels-Stewart et la méthode de Smith, ainsi que les techniques basées sur les décompositions de Schur ou de Cholesky. Des variantes plus récentes exploitent les propriétés de faible rang et la structure particulière des matrices dans les grandes dimensions. Ces méthodes sont essentielles dans divers domaines d’application, notamment le contrôle optimal, l’analyse de stabilité, la réduction de modèles, et le traitement de l’image. Le choix de la méthode dépend généralement de la taille du problème, de la nature des matrices et des contraintes de temps de calcul