Opérateurs de Toeplitz et Polynômes Orthogonaux

Abstract

La théorie des Opérateurs de Toeplitz c’est apparue dans le début du vent-ème siècle dans l’article d’Otto Toeplitz de 1911 "Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvie-len Veriinderlichen. J. Teil : Theorie des L- Formen 5 (Math. Annalen, 70 (1911),351-376 ), qui contient une théorie spectrale des formes de Toeplitz (T p,p) et des opérateurs de Laurent L = (ti−j )i,j 2Z dans l’espace l 2(Z) =: fx = (xj )j 2Z : xj 2 C, P j 2Z xj 2 = kxk2 < +1g, . L’étude des opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Bergman (l’espace des fonctions analytiques, p-intégrables sur le disque du plan complexe) a commencé dans les années 1980. Des résultats sur le produit des opérateurs, la caractérisation des opérateurs bornés, les opérateurs compacts ainsi que la classe de Schatten(classe des operateurs p-compact ) ont étés obtenus. Ce mémoire est consacré à l’étude de lien entre les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Bergman (en particulier les opérateurs de Toeplitz à symbole quasihomogène ou radial), en passant à la définition et quelques propriétés des opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et sur l’espace de Bergman. Le premier chapitre est consacré aux notions préliminaires sur les deux espaces de Hardy et de Bergman, le deuxième sur la définition de l’opérateur de Toeplitz et quelques propriétés sur les deux espaces. En fin, et dans le troisième chapitre, on expose les polynômes orthogonaux (en particulier les polynômes de Legendre) et quelques propriétés sur ces polynômes, et on donne le lien entre l’opérateue de Toeplitz à symbole radial sur l’espace de Bergman et les polynômes de Legendre.