Structures des algèbres de Lie semi-simples

Abstract

Résume Dans cette mémoire, nous avons mentionné premièrement les groupes de Lie ainsi que les algèbres de Lie. On a relié ces deux notions l’une avec l’autre en utilisant l’application exponentielle qui permet le passage d’une algèbre de Lie vers son groupe de Lie. Deuxièmement on a introduit qu’une algèbre de Lie semi-simple g est celui qui n’a pas d’idéaux abéliens non-zéro. Cela équivaut à l’absence d’idéaux résolubles. En effet, si g avait un idéal résoluble h, on pourrait considérer la suites dérivées de h, c’est-à-dire h (1) = [h; h]; h (n) = [h (n 1) ; h (n 1) ]. Ce sont des idéaux car, selon l’identité de Jacobi, le produit de Lie de deux idéaux est un idéal. Ces h (n) finalement réduit à f0g par l’hypothèse de la résolubilité, et le dernier non nul est abélien. Soit un unique idéal résoluble de g qui contient tout idéal résoluble de g. Cet idéal est le radical de g noté par rad(g). Une algèbre de Lie g est dit semi-simple si rad(g) = f0g (ou, ce qui revient au même, si elle ne contient pas d’idéal commutatif non réduit à f0g. On définit d’autre part sur toute algèbre de Lie réelle (resp. complexe) g une forme bilinéaire symétrique réelle (resp. complexe) dite forme de Killing qui est noté : par la formule : (X; Y ) = tr(ad(X ) ad(Y )) ; cette forme est étroitement liée à la structure de g par les trois critères de Cartan ce qui est bien défini dans cette mémoire.