Etude sur le nombre de [1,k]-domination

Abstract

Soit G = (V;E) un graphe, et soit k un entier tel que k 1. Un sous ensemble S de V est un [1; k]-ensemble de G si pour tout sommet v de V 􀀀 S, 1 jN(v) \ Sj k, c-à-d que chaque sommet de V 􀀀S est adjacent à au moins 1 sommet, mais pas plus que k sommets dans S. L ordre minimum d un [1; k]-ensemble d un graphe G est appelé le nombre de [1; k]-domination et noté

[1;k](G). Un [1; k]-ensemble dont le cardinal est [1;k](G) est appelé un [1;k](G)-ensemble. D abord, nous donnons quelques propriétés des [1; k]-ensembles, particulièrement lorsque ces en- sembles sont disjoints, en second lieu nous donnons principalement quelques conditions su¢ santes pour que [1;k] (G) < n pour tout graphes G d ordre n. puis nous présentons un exemple de graphe scindé avec [1;k] (G) = n. En suite, nous donnons une borne sur [1;k] (G) en fonction de n, et k, et des bornes sur [1;k] en fonction de l ordre n de G, pour k 2 f ; 􀀀 1g. En plus, nous caractérisons les graphes G atteignant ces bornes. Finalement, nous donnons des relations de type nordhaus-gaddum sur [1;k] (G).