Sur Quelques Propri´et´es Analytiques des Polynomes Classiques

Abstract

Cette th`ese s’inscrit dans le domaine de la combinatoire ´enum´erative, elle porte sur l’´etude des propri´et´es analytiques des polynˆomes classiques. Ainsi, dans un premier chapitre nous introduisons les notions de base n´ecessaire au d´eveloppement des r´esultat expos´es dans les autres chapitres. Dans le deuxi`eme chapitre nous construisons une nouvelle famille de nombres et de polynˆomes li´es aux nombres et polynˆomes de Bell au moyen de la fonction hyperg´eom´etrique confluente et nous donnons quelques propri´et´es. En appliquant la formule de Cauchy pour les int´egrales it´er´ees, nous introduisons les nombres et les polynˆomes de poly-Bell. Dans le troisi`eme chapitre, nous ´etudions une nouvelle classe de polynˆomes de Lah g´en´eralis´es et que nous appelons les polynˆomes s-Lah. Tout d’abord, on d´efinit une identit´e qui g´en´eralise la transformation de Lah. Deuxi`emement, nous donnons en particulier un nouveau coefficient et nous ´etablissons une relation entre les polynˆomes de s-Lah et les polynˆomes de Laguerre associ´es. Comme une application combinatoire, nous prouvons l’unimodalit´e des coefficients des polynˆomes de s-Lah. Dans le quarti`eme chapitre, nous proposons quelques nouvelles formules explicites des polynˆomes de Daehee d’ordre sup´erieur en termes de nombres r-Stirling et r-Whitney de deuxi`eme esp`ece. En cons´equence, nous obtenons une formule de r´ecurrence `a trois termes pour le calcul des polynˆomes de Bernoulli g´en´eralis´es d’ordre k.