Analyse fonctionnelle : Cours et exercices

Abstract

Ce polycopié s’agit d’un ensemble de cours d’analyse fonctionnelle qui ont été présentés ces dernières années aux étudiants de première année master 1 filière analyse mathématique et applications de la faculté des sciences de l’université de Médéa. L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en topologie (enseigné en licence 2) qui est un des piliers dans la formation en analyse fonctionnelle, ainsi que la mesure et intégrations vus en licence 3. Nous rappelons que le contenu de ce polycopié est exactement le même proposé dans l’offre de formation officiel applicable actuellement dans tous les départements de Mathématiques des Universités Algériennes. Venons-en à une description plus précise de ce que l’on trouvera dans ce polycopié. Ce polycopié débute par le premier chapitre qui rassemblent une bonne partie des résultats de base de Topologie tels que espaces métriques, espaces vectoriels normés et de Banach et les opérateurs linéaires bornés et non bornés sur ces espaces qu’évidemment les étudiants de Master 1 sont supposés connaître et qu’ils peuvent être amenés à utiliser dans différentes de ce cours. Dans le deuxième chapitre, on se tourne vers le théorème de Hahn-Banach forme analytique et ses conséquences et la première et deuxième forme géométrique de ce théorème. Quant au troisième chapitre, il est consacré aux théorèmes de Baire et Banach Steinhaus qui sont des grands outils pour faire des démonstrations des divers théorèmes de l’analyse fonctionnelle. Le quatrième chapitre est consacré aux théorème de l’application ouverte et théorème du graphe fermé. Le chapitre cinq de ce polycopié traite une porte très importante dans le domaine de l’analyse et dans la recherche scientifique, il s’agit de la topologie faible et la topologie faible- sur les espace de Banach et de Hilbert, où on va citer plusieurs théorèmes importants comme le théorème de Banach-Aloaglu-Bourbaki et de Kakutani et applications aux espaces fonctionnels. Le sixième chapitre comprend les espaces Lp et de Hilbert : Projection sur un convexe fermé non vide, théorème de Riesz, théorème d’Ascoli, théorème de Stampachia et de Lax- Milgram. Le dernier chapitre comprend un concept très important aussi dans le domaine de l’analyse, il s’agit des opérateurs compacts : alternative de Fredholm, spectre d’un opérateur compact, diagonalisation d’un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert. A la fin de chaque chapitre, nous avons présenté une série d’exercices divers et riches afin d’obtenir une meilleure compréhension du cours, dont une partie de ces exercices ont été abordés dans les séances de travaux dirigés.