Etude de la coloration équitable dans les graphes

Abstract

Dans ce mémoire, nous intéressons à la notion de la coloration k- équitable des sommets et le nombre chromatique k􀀀équitable dans les graphes. Soit G = (V;E) un graphe simple et sans sommet isolé. Une coloration propre de sommets de G est une affectation de couleurs aux sommets de sorte que deux sommets adjacents aient des couleurs di¤érentes. Le nombre minimum de couleurs nécessaires à la coloration des sommets de G est appelé le nombre chromatique de G et noté (G). Une coloration k􀀀équitable d un graphe G est une col- oration propre telle que l ensemble de sommets V (G) peut être partitionné en k ensembles indépendants non vides V1; V2; :::; Vk; avec jjVij 􀀀 jVj jj 1 pour tout i 6= j. Le plus petit entier k pour lequel un graphe G admet une coloration équitable est le nombre chromatique équitable et noté =(G): Dans ce travail, nous déterminons la valeur exacte du nombre chromatique équitable de certains graphes comme le graphe milieu et total et central d un graphe moulin Cn 3 , graphe circulant MLn, graphe de fan F1;n, graphe de double fan F2;n, couronne d une chaîne Cr(Pn) et couronne d un cycle Cr(Cn) aussi nous déterminons la valeur exacte du nombre chroma- tique équitable pour les graphes suivant : le graphe splitting d une roue S0(Wn), le graphe splitting d une étoile S0(K1;n), couronne d un graphe complet avec une chaîne Kn Pm, couronne d un cycle avec un graphe complet Cn Km, couronne d un cycle avec une chaîne Cn Pm. De plus, nous donnons les valeurs exactes du nombre chromatique équitable de prisme complémentaire d une étoile K1;nK1;n, prisme complémentaire d un couronne de cycle Cr(CnCn), prisme complémentaire d un graphe splitting d un cycle S0(CnCn), prisme com- plémentaire d un graphe de helme HnHn, graphe de mycielski de graphe circulant (MLn), graphe de mycielski d un graphe de prisme de cycle (Yn).