b-coloration de certains graphes modifiés

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons principalement à la notion de la b-coloration dans les graphes, et nous concentrons particulièrement sur le nombre b-chromatique de certains graphes modi…és. Une coloration propre des sommets d’un graphe G = (V; E) est une fonction qui assigne une couleur à chaque sommet de manière à ce que deux sommets adjacents aient des couleurs di¤érentes. Le nombre minimum de couleurs nécessaire pour une telle coloration propre est appelé nombre chromatique de G, noté (G). Une b-coloration d’un graphe G est une coloration propre des sommets dans laquelle chaque classe de couleur contient au moins un sommet ayant au moins un voisin dans chacune des autres classes de couleurs. Un tel sommet est appelé un b-sommet. Le nombre b-chromatique, noté b(G), est le plus grand entier k pour lequel G admet une b-coloration en k couleurs. Dans ce mémoire, nous commençons par les dé…nitions essentielles de la théorie des graphes. Ensuite, nous abordons quelques résultats existants sur la b-coloration. Pour conclure, nous déterminons les valeurs exactes du nombre b-chromatique de certains graphes, lorsque nous supprimons une arête reliant deux sommets adjacents et la remplaçons par une chaîne d’ordre k 2, ainsi lorsque nous supprimons un sommet quelconque et le remplaçons par une gri¤e.