Sur la factorisation par les courbes elliptiques

Abstract

Les systèmes de chiffrement à clefs publiques et plus particulièrement le système "RSA" en 1976 sont à l’origine d’un regain d’intérêt pour des problèmes comme la factorisation d’entiers, la primalité ou encore le logarithme discret. De nouveaux algorithmes prenant en compte la faisabilité des calculs sur les machines actuelles ont ainsi vu le jour ces dernières années. En ce qui concerne les algorithmes de factorisation d’entiers, trois algorithmes majeurs sont apparu entre 1980 et 1990 : le crible quadratique, la méthode des courbes elliptiques et le crible algébrique. En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d’une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont plusieurs applications dans différents domaines des mathématiques, on les trouve aussi en mécanique classique, en théorie des nombres dans la preuve du dernier théorème de Fermat démontré par Andraw Weil en 1994, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d’arcs d’ellipses. Par contre à ce que son nom pourrait laisser croire, l’ellipse n’est pas une courbe elliptique. Les systèmes modernes de cryptage de données seront sûrs tant que la décomposition des nombres de plus de 100 chiffres en facteurs restera difficile.